硬币分堆问题

题目

  • 有23枚硬币在桌上,10枚正面朝上。假设别人蒙住你的眼睛,而你的手又摸不出硬币的反正面。让你用最好的方法把这些硬币分成两堆,每堆正面朝上的硬币个数相同。
  • 或一个更普遍的问题:有$n$枚硬币在桌上,$k$枚正面朝上。假设别人蒙住你的眼睛,而你的手又摸不出硬币的反正面。让你用最好的方法把这些硬币分成两堆,每堆正面朝上的硬币个数相同。

分析

  • 将$n$枚硬币分为2堆,A堆$k$枚,B堆$n-k$枚。
  • 假设A堆中正面硬币有$x$枚,则有如下关系:
    • A中:正面硬币$x$枚,反面硬币$k-x$枚;
    • B中:正面硬币$k-x$枚;
  • 将A堆所有硬币翻面。
  • A堆和B堆中正面硬币数均为$k-x$枚。

翻硬币问题

题目

总共有$n$枚硬币均正面朝上,规则规定每次只能将其中$p$枚硬币翻面($1≤p≤n$)。问最少需要多少次操作才能将所有硬币翻面。

思路

  • 先进行$n/p$次操作,将$(n/p - 1)*p$枚硬币翻面,令$r = n % p$,则剩余$r + p$;
  • 考虑将其中$x$枚反面朝上的硬币翻面,$p - x$枚正面朝上的硬币翻面;
  • 此时剩余正面向上的硬币总数为$x + r + p - (p - x) = p$,解方程得$x = (p - r) / 2$;
  • 方程有解的前提是$x$为偶数,故$p$和$r$应同奇偶,如$p$为奇数,每做一次操作,正面向上的硬币总数变换奇偶性
  • 现在讨论$n$和$p$的奇偶关系:
    • $n$为奇数,$p$为奇数:计$k$为$n/p$向上取整
      • $k$为奇数,可行
      • $k$为偶数,无解
    • $n$为偶数,$p$为偶数:可行
    • $n$为奇数,$p$为偶数:无解
    • $n$为偶数,$p$为奇数:计$k$为$n/p$向上取整
      • $k$为偶数,可行
      • $k$为奇数,无解
  • 应注意$n/p$介于1到2之间的情况。

答案

如满足上述奇偶讨论的要求:

  • 当$n/p$介于1到2之间时,答案为3;
  • 当$n/p$大于等于2时,答案为$n/p$向上取整;

不满足则无解。

猜数字

两人玩游戏,在脑门上贴数字(正整数>=1),只看见对方的,看不见自己的,而且两人的数字相差1,以下是两人的对话: A:我不知道 B:我也不知道 A:我知道了 B:我也知道了 问A头上的字是多少,B头上的字是多少?
2种解题思路将引出不同的答案,十分有趣。

解法1

A是3,B是2。A看到2,想到自己是1或者3,所以不知道。B看到3,想到自己是2或者4,然后B也说不知道。然后A说知道了,假如A是1的话,B肯定会说自己是2的。但是B说不知道,那么A肯定是3,那么A确定了自己是3,表示知道了。B知道了A是3,那么只有B是2的时候,A才能确定这个状况,B是4的时候,A是不可能依靠两次就能判断出自己的。

解法2

A说不知道,说明B不是1,否则A直接知道自己是2了,此时B说自己不知道,说明A不是1,也不是2(因为如果A是2,则B可以直接知道自己是3)。然后A说知道了,A看到B是3,自己又不可能是2,所以一定是4。

结论

此题有漏洞,A、B如果猜数解法不同,则得到的数字是不一样的。

把西瓜切九刀最多切几块

题目

按平面切割,且保持形状始终为球形,把西瓜切九刀最多切几块?

分析

  • 假设一个n维空间切k刀,最多切成$A(n,k)$块。
  • $A(n,k)=A(n,k-1)+A(n-1,k-1)$
  • $A(n,k)=C(k,0)+C(k,1)+…+C(k,n)$
  • 切9刀,$A(3,9)=C(9,0)+C(9,1)+C(9,2)+C(9,3)=130$
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