题目

• 有23枚硬币在桌上，10枚正面朝上。假设别人蒙住你的眼睛，而你的手又摸不出硬币的反正面。让你用最好的方法把这些硬币分成两堆，每堆正面朝上的硬币个数相同。
• 或一个更普遍的问题：有$n$枚硬币在桌上，$k$枚正面朝上。假设别人蒙住你的眼睛，而你的手又摸不出硬币的反正面。让你用最好的方法把这些硬币分成两堆，每堆正面朝上的硬币个数相同。

分析

• 将$n$枚硬币分为2堆，A堆$k$枚，B堆$n-k$枚。
• 假设A堆中正面硬币有$x$枚，则有如下关系：
  • A中：正面硬币$x$枚，反面硬币$k-x$枚；
  • B中：正面硬币$k-x$枚；
• 将A堆所有硬币翻面。
• A堆和B堆中正面硬币数均为$k-x$枚。

题目

总共有$n$枚硬币均正面朝上，规则规定每次只能将其中$p$枚硬币翻面（$1≤p≤n$）。问最少需要多少次操作才能将所有硬币翻面。

思路

• 先进行$n/p$次操作，将$(n/p - 1)*p$枚硬币翻面，令$r = n % p$，则剩余$r + p$;
• 考虑将其中$x$枚反面朝上的硬币翻面，$p - x$枚正面朝上的硬币翻面；
• 此时剩余正面向上的硬币总数为$x + r + p - (p - x) = p$，解方程得$x = (p - r) / 2$;
• 方程有解的前提是$x$为偶数，故$p$和$r$应同奇偶，如$p$为奇数，每做一次操作，正面向上的硬币总数变换奇偶性；
• 现在讨论$n$和$p$的奇偶关系：
  • $n$为奇数，$p$为奇数：计$k$为$n/p$向上取整
    • $k$为奇数，可行
    • $k$为偶数，无解
  • $n$为偶数，$p$为偶数：可行
  • $n$为奇数，$p$为偶数：无解
  • $n$为偶数，$p$为奇数：计$k$为$n/p$向上取整
    • $k$为偶数，可行
    • $k$为奇数，无解
• 应注意$n/p$介于1到2之间的情况。

答案

如满足上述奇偶讨论的要求：

• 当$n/p$介于1到2之间时，答案为3；
• 当$n/p$大于等于2时，答案为$n/p$向上取整；

不满足则无解。

两人玩游戏，在脑门上贴数字（正整数>=1），只看见对方的，看不见自己的，而且两人的数字相差1，以下是两人的对话： A：我不知道 B：我也不知道 A：我知道了 B：我也知道了 问A头上的字是多少，B头上的字是多少？
2种解题思路将引出不同的答案，十分有趣。

解法1

A是3，B是2。A看到2，想到自己是1或者3，所以不知道。B看到3，想到自己是2或者4，然后B也说不知道。然后A说知道了，假如A是1的话，B肯定会说自己是2的。但是B说不知道，那么A肯定是3，那么A确定了自己是3，表示知道了。B知道了A是3，那么只有B是2的时候，A才能确定这个状况，B是4的时候，A是不可能依靠两次就能判断出自己的。

解法2

A说不知道，说明B不是1，否则A直接知道自己是2了，此时B说自己不知道，说明A不是1，也不是2（因为如果A是2，则B可以直接知道自己是3）。然后A说知道了，A看到B是3，自己又不可能是2，所以一定是4。

结论

此题有漏洞，A、B如果猜数解法不同，则得到的数字是不一样的。

题目

按平面切割，且保持形状始终为球形，把西瓜切九刀最多切几块？

分析

• 假设一个n维空间切k刀，最多切成$A(n,k)$块。
• $A(n,k)=A(n,k-1)+A(n-1,k-1)$
• $A(n,k)=C(k,0)+C(k,1)+…+C(k,n)$
• 切9刀，$A(3,9)=C(9,0)+C(9,1)+C(9,2)+C(9,3)=130$